Diferenciabilidade e funções patológicas

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch / março 2013

Neste módulo estuda-se a diferenciabilidade duma função patológica, que apesar de contínua e com derivadas parciais em todos os pontos, inclusivé na origem, não é diferenciável na origem. Apesar da matriz jacobiana estar bem definida na origem, seguindo a definição de diferenciabilidade, quando tentamos verificar o limite \({\rm lim}_{{\vec{\bf h}}\rightarrow {\vec{\bf 0}}} \frac{({\bf f}({\bf 0}+{\vec{\bf h})-{\bf f}({\bf 0}))-\left[{ J}{\bf f}({\bf 0})\right]{\vec{{\bf h}}}}}{\|\vec{{\bf h}}\|}=0\) que devia dar zero, concluímos que o limite nem sequer existe!

Conclusão: a jacobiana não representa a derivada da função.