Estudo de pontos críticos

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Os termos quadráticos dum polinómio de Taylor de várias variáveis dão-nos o comportamento duma função na vizinhança dos pontos críticos.

Representação de formas quadráticas

Neste módulo trabalha-se a definição de forma quadrática como uma soma/diferença de quadrados de funções lineares, linearmente independentes, ordenadas em \(k\) termos positivos seguidos de \(\ell\) termos negativos. Toda a forma quadrática tem uma assinatura e característica únicas, que são úteis para a classificação de máximos, mínimos e selas. Dá-se um exemplo simples da técnica de enquadramento, ou completação de quadrados, para uma forma quadrática de 2 variáveis, com o objetivo final de caracterizar a forma quadrática quanto à assinatura e característica.



Técnica de enquadramento

Este é um exemplo mais complicado da técnica de enquadramento, ou completação de quadrados, para uma forma quadrática de 3 variáveis, que vém no seguimento do módulo de representação de formas quadráticas. O objetivo final é caracterizar a forma quadrática quanto à assinatura e característica.



Classificação de formas quadráticas

Neste módulo faz-se uma classificação de formas quadráticas com base nas respetivas assinaturas e características. Junta-se uma classificação com base na matriz simétrica associada à forma quadrática. Analisam-se dois exemplos de classificação.



Extremos e Pontos Críticos (Identificação)

Este é um primeiro estudo sobre pontos de estacionaridade ou pontos críticos (máximos, mínimos ou selas) de funções escalares. Os pontos onde a função atinge um máximo local ou um mínimo local também se designam por extremos. Usando o critério do anulamento da derivada (jacobiana), identificam-se os pontos críticos de duas funções de 2 variáveis: a primeira com um ponto crítico, e a segunda com três pontos críticos.



Extremos e Pontos Críticos (Classificação)

Este é o segundo módulo sobre pontos de estacionaridade ou pontos críticos (máximos, mínimos ou selas) de funções escalares. Num outro módulo, usamos o critério do anulamento da derivada (jacobiana) para identificar os pontos críticos em dois exemplos: uma função escalar com um ponto crítico, e uma outra função escalar com três pontos críticos. Agora fazemos a classificação dos pontos, usando o critério da segunda derivada e analisando a assinatura da forma quadrática associada aos pontos.



Maximizar/Minimizar com Condições

Neste exemplo, baseado num exercício de exame, faz-se o estudo de pontos críticos condicionados: minimizar a função distância à origem, \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) sobre a parte da curva de equação \(xy+y^2=1\) situada no primeiro quadrante, usando a técnica dos multiplicadores de Lagrange.



Pontos Críticos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)

Num primeiro exemplo, motiva-se o estudo de pontos críticos condicionados: maximar a função \(f(x,y)=xy\) sobre a circunferência unitária. Temos a certeza de encontrar um máximo porque estamos a lidar com uma função contínua sobre um compacto (a circunferência unitária é um conjunto limitado e fechado em \(\mathbb R^2\)).

Noutras situações, em que o objetivo é identificar pontos críticos sobre variedades dadas por equações, recorre-se ao Teorema dos multiplicadores de Lagrange. Note-se que este resultado só permite encontrar pontos críticos, não classificá-los.