Cálculo Diferencial

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Geometria e abertos de \(\mathbb R^n\)

Para trabalharmos com as noções fundamentais de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis com valores em \(\mathbb R^m\) precisamos das definições básicas de distância e de abertos de \(\mathbb R^n\): precisamos de saber distinguir o que é grande ou está longe do que é pequeno ou está perto.

  1. Geometria do \(\mathbb R^n\) (produto interno e comprimento)
  2. Geometria do \(\mathbb R^n\) (ângulo e desigualdades)
  3. Comprimento duma Matriz
  4. Geometria do \(\mathbb R^3\) (produto externo)
  5. Abertos e fechados de \(\mathbb R^n\)
  6. Interior, fronteira e fecho

Limites e continuidade em \(\mathbb R^n\)

O conceito de limite e de continuidade de funções de várias variáveis com valores em \(\mathbb R^m\) difere bastante do caso unidimensional. Deixamos de ter de olhar só para a direita e para a esquerda e temos de passar a olhar à volta (para os abertos, para as vizinhanças).

  1. Sucessões convergentes em \(\mathbb R^n\)
  2. Limites de sucessões em \(\mathbb R^n\)
  3. Limites de funções com valores em \(\mathbb R^m\)
  4. Limites (Continuidade) de Funções
  5. Limites de Funções Escalares (Exemplo 1)
  6. Limites de Funções Escalares (Exemplo 2)
  7. Limite da função composta
  8. Funções contínuas em \(\mathbb R^n\)
  9. Campos Vetoriais
  10. Campos Vetoriais (Demonstração no Computador)

Diferenciabilidade em \(\mathbb R^n\)

A derivada a  várias variáveis também é muito diferente da derivada a uma variável: para funções diferenciáveis a derivada é uma matriz, por vezes denominada jacobiana, com entradas que são as derivadas parciais.

  1. Derivadas parciais em \(\mathbb R^n\)
  2. A matriz jacobiana
  3. Diferenciabilidade de funções vetoriais
  4. Derivadas direcionais em \(\mathbb R^n\)
  5. Diferenciabilidade e funções patológicas
  6. Critério para a diferenciabilidade
  7. Regras das derivadas
  8. Derivada da função composta
  9. O teorema do valor médio e a diferenciabilidade
  10. Diferenciável implica contínua

Teoremas da inversa e da implícita

Estuda-se em que casos é possível inverter localmente uma função de \(n\) variáveis com valores em \(\mathbb R^n\) e em que casos a equação \(f(x)=0\) define localmente e implicitamente algumas das variáveis como função das restantes. O primeiro teorema é muito importante na resolução de sistemas de equações não-lineares, o segundo teorema vai ser fundamental no estudo de variedades.

  1. Método de Newton (caso vetorial)
  2. Método de Newton (exemplo 2D)
  3. Teorema de Kantorovich
  4. Verificação da existência de solução (método de Newton 2D)
  5. Condição de Lipschitz para a derivada
  6. Teorema da função inversa (versão curta)
  7. Teorema da função inversa (versão longa)
  8. Teorema da função inversa (versão longa, exemplo)
  9. Teorema da função implícita (versão curta)
  10. Teorema da função implícita (versão curta)
  11. Teorema da função implícita (versão curta, exemplo)
  12. Teorema da função implícita (versão longa)
  13. Teorema da função implícita (exemplo)

Variedades regulares

As variedades estão por todo o lado, mas nem sempre é fácil defini-las. Podemos sempre ter em mente curvas e superfícies regulares.

  1. Variedades Regulares: Curvas e Superfícies
  2. Gráficos de funções escalares (demo)
  3. Critério da ímplicita para variedades regulares
  4. Equações que definem Variedades
  5. Superfícies de nível e quadráticas (demo)
  6. Parametrização de variedades

Polinómios de Taylor em \(\mathbb R^n\)

Os polinómios de Taylor estão intimamente relacionados com as derivadas parciais. Aqui aparecem aparte, mas os de segundo grau podem ser vistos como auxiliares no estudo e classificação de pontos críticos.

  1. Derivadas cruzadas de ordem superior
  2. Derivadas de segunda ordem (exemplos)
  3. Polinómios de Taylor
  4. Polinómios de Taylor (duas variáveis)

Estudo de pontos críticos

Os termos quadráticos dum polinómio de Taylor de várias variáveis dão-nos o comportamento duma função na vizinhança dos pontos críticos.

  1. Representação de formas quadráticas
  2. Técnica de enquadramento
  3. Classificação de formas quadráticas
  4. Extremos e Pontos Críticos (Identificação)
  5. Extremos e Pontos Críticos (Classificação)
  6. Maximizar/Minimizar com Condições
  7. Maximizar/minimizar com condições em \(\mathbb R^3\)
  8. Pontos Críticos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)