Polinómios de Taylor em \(\mathbb R^n\)

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Os polinómios de Taylor estão intimamente relacionados com as derivadas parciais. Aqui aparecem aparte, mas os de segundo grau podem ser vistos como auxiliares no estudo e classificação de pontos críticos.

Derivadas cruzadas de ordem superior

Este módulo generaliza a ideia do módulo das derivadas contínuas de segunda ordem: quando a função é de classe \(C^k\) as derivadas mistas até à ordem \(k\) podem ser calculadas por uma ordem arbitrária de derivação.



Derivadas de segunda ordem (exemplos)

Para funções de várias variáveis, em que as derivadas parciais são contínuas, calculam-se as derivadas de segunda ordem. Quando estas últimas existem e são contínuas, diz-se que a função é de classe \(C^2\). As funções de classe \(C^2\) têm derivadas cruzadas que não dependem da ordem de derivação.



Polinómios de Taylor

Neste módulo, usa-se uma notação compacta de multi-expoentes para representar  os polinómios de Taylor de funções escalares de várias variáveis. Relacionam-se  os coeficientes do polinómio com as derivadas parciais descritas com esta notação especial de multi-expoentes.



Polinómios de Taylor (duas variáveis)

Neste módulo exemplifica-se a construção dum polinómio de Taylor de grau \(3\) para uma função escalar de duas variáveis, usando a notação especial de multi-expoentes introduzida num módulo anterior.