Álgebra Linear

João Pedro Boavida, Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Matrizes e vetores

  1. Vetores (alguns exemplos)
  2. Vetores (gráficos de funções)
  3. Combinações Lineares de Vetores
  4. Matrizes (definições)
  5. Matrizes (operações vetoriais)
  6. Produto Matriz-Vetor
  7. Produto matriz/vetor (algumas propriedades)
  8. Produto matriz/vetor (utilizações)

Sistemas de equações lineares

Os sistemas de equações lineares, escritos na forma vetorial e matricial, com os respetivos métodos de resolução. Algum ênfase é dado às formas de descrição da solução: conjunto ou forma vetorial paramétrica.

  1. Sistemas de equações lineares (definições)
  2. Produto Matriz-Vetor
  3. Equação Vetorial / Equação Matricial
  4. O método de eliminação de Gauss
  5. Conjuntos solução
  6. Solução na forma vetorial paramétrica
  7. O método de Gauss (exemplos)
  8. Classificação de sistemas
  9. Modelo homogéneo em economia
  10. Modelo não-homogéneo de fluxo de rede

Operações matriciais

As operações menos triviais para matrizes: produto e inversão.

  1. Produto de matrizes
  2. Matrizes e operações elementares
  3. Inversão de matrizes (propriedades)
  4. Inversão de matrizes (exemplo)

Independência linear

Um dos conceitos básicos mais importantes: independência linear, e as suas consequências.

  1. Combinações Lineares de Vetores
  2. Expansão Linear
  3. Espaço Gerado
  4. Independência Linear (Definição)
  5. Independência Linear (Exemplos)

Transformações lineares em \(\mathbb R^n\)

O conceito mais atual de AL: transformação linear e as suas propriedades.

  1. Transformações Matriciais
  2. A Matriz duma Transformação Linear
  3. Exemplo de Transformações Matriciais – Geometria
  4. Exemplo de Transformações Matriciais – Existência e Unicidade
  5. A matriz duma transformação linear (injetividade)
  6. A matriz duma transformação linear (sobrejetividade)
  7. Invertibilidade de Transformações Lineares

Geometria das transformações lineares

Aplicações geométricas do conceito de transformação linear.

  1. Matrizes por Blocos
  2. Aplicação de Matrizes à Computação Gráfica
  3. Manipulação de Transformações Lineares
  4. Composição de Transformações Lineares (em \(\mathbb R^2\))
  5. Composição de Transformações Lineares (Inversa)
  6. Composição de Transformações Lineares (em \(\mathbb R^3\))
  7. Demonstração da Composição de Transformações Lineares e Computação Gráfica
  8. Rotação Fora da Origem

Espaços vetoriais I

A generalização do  \(\mathbb R^n\).

  1. Espaços Vetoriais
  2. Subespaços Vetoriais
  3. Subespaços Vetoriais (Um atalho)
  4. Espaços vetoriais de sucessões
  5. Espaços vetoriais de funções
  6. Bases
  7. Bases e dimensão

Mudanças de base

Muitas propriedades das transformações lineares não se alteram com uma mudança de base, mas algumas são mais fáceis de ler numa base do que noutra.

  1. Sistemas de Coordenadas e \(\mathbb R^2\)
  2. Sistemas de Coordenadas: polinómios e planos de \(\mathbb R^3\)
  3. Sistemas de coordenadas (no computador)
  4. Matriz Mudança de Base (Base Canónica)
  5. Matriz Mudança de Base (Caso Geral)

Espaços vetoriais II

Subespaços de  \(\mathbb R^n\), que vêm da leitura das matrizes em linha, coluna, ou como parte da equação homogénea \(A{\bf x}=0\).

  1. Espaço das colunas duma matriz
  2. Espaço nulo duma matriz

Determinantes

Definição e propriedades dos determinantes, técnicas de cálculo.

  1. Determinantes (propriedades)
  2. Determinantes e método de Gauss
  3. Determinantes e regra de Laplace

Espaços próprios

Definição de valor e vetor próprio, determinação de valores próprios usando o polinómio característico, demonstração da existência de valores próprios.

  1. Valores e vetores próprios I
  2. Valores e vetores próprios II
  3. Polinómio característico
  4. Existência de vetores próprios

Geometria dos espaços próprios

Exemplos de aplicações de valores próprios, vetores próprios e diagonalização.

  1. Geometria dos valores e vetores próprios (reais)

Aplicações de valores próprios

  1. Números de Fibonacci
  2. Cadeias de Markov (Aluguer de Bicas)
  3. Vetor Estacionário das Cadeias de Markov

Ortogonalidade

Conceitos de produto interno, vetor ortogonal, complemento ortogonal, projeção ortogonal.

  1. Produto interno
  2. Projeção ortogonal
  3. Bases ortogonais

Produto interno e geometria

Aplicações do produto interno à geometria.

  1. Distância de ponto a subespaço

Aplicações de ortogonalidade

Outras aplicações do produto interno.

  1. Mínimos quadrados e aproximação linear
  2. Mínimos quadrados e aproximação quadrática

Matrizes simétricas

Matrizes simétricas e formas quadráticas.

  1. Matrizes simétricas e vetores próprios
  2. Diagonalização de matrizes simétricas
  3. Formas quadráticas