Diferenciabilidade de funções vetoriais

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch / março 2012

Questão: Quando é que a matriz jacobiana duma função vetorial \({\bf f}\) é a sua derivada?

Sendo a matriz jacobiana, a matriz cujas entradas são as derivadas parciais de \({\bf f}\), gostaríamos de a ter como a “matriz derivada de \({\bf f}\)”. No entanto, o melhor que conseguimos afirmar é:

Teorema (jacobiana e derivada)

Seja \(U\) um conjunto aberto de \(\mathbb{R}^n\), \({\bf f}:U\subset {\mathbb{R}}^n \rightarrow {\mathbb{R}}^m\) e \({\bf a}\) um ponto de \(U\). Quando para um pequeno incremento \(\vec{\bf h}\) relativamente à variável tivermos \[\lim_{{\vec{\bf h}}\rightarrow {\vec{\bf 0}}} \frac{({\bf f}({\bf a}+{\vec{\bf h})-{\bf f}({\bf a}))-L({\vec{{\bf h}})}}}{\|\vec{{\bf h}}\|}=\vec{\bf 0} \] em que \(L\) é uma transformação linear \(L:{\mathbb{R}}^n \rightarrow {\mathbb{R}}^m\), então todas as derivadas parciais de \({\bf f}\) em \({\bf a}\) existem e a matriz jacobiana \(\left[J{\bf f}({\bf a})\right]\) é a matriz que representa \(L\) que aparece no limite.

No caso do limite \(\vec{\bf 0}\) do teorema existir, \({\bf f}\) diz-se {\bf diferenciável} em \({\bf a}\) e a matriz jacobiana \(\left[J{\bf f}({\bf a})\right]\) representa a derivada de \({\bf f}\) em \({\bf a}\), passando a escrever-se \(\left[{\bf D}{\bf f}({\bf a})\right]\).

Estas são as principais regras para derivar funções definidas por uma expressão algébrica, à exceção da regra da composta que aparece diretamente no video:

Regras para calcular derivadas:

Seja \(U\) um conjunto aberto de \(\mathbb{R}^n\).

  1. Se \({\bf f}:U \rightarrow \mathbb{R}^m\) é uma função constante, então \({\bf f}\) é diferenciável e a sua derivada é a transformação linear zero representada pela matriz nula \(m\times n\).
  2. Se \({\bf f}:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) é linear, então \({\bf f}\) é diferenciável e a sua derivada em todos os pontos \(\bf{a}\) é \({\bf f}\), i.e. \(\left[{\bf D}{\bf f}({\bf a})\right]{\vec{\bf v}}={\bf f}({\vec{\bf v}})\).
  3. Sejam \(f_1, f_2,\ldots,f_m: U\rightarrow \mathbb{R}\) \(m\) funções escalares diferenciáveis em \(\bf{a}\), então a função vetorial \({\bf f}({\bf x})=\begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_m \end{bmatrix}\) é diferenciável em \(\bf{a}\) com derivada \[\left[{\bf D}{\bf f}({\bf a})\right]\vec{\bf v} =\begin{bmatrix} \left[{\bf D}{ f_1}({\bf a})\right]\vec{\bf v}\\ \vdots\\ \left[{\bf D}{ f_m}({\bf a})\right]\vec{\bf v}\end{bmatrix}.\] e vice-versa, se \({\bf f}\) é diferenciável em \(\bf{a}\), cada função coordenada \(f_i\) é diferenciável em \(\bf{a}\) com derivada \(\left[{\bf D}{ f_i}({\bf a})\right]=\begin{bmatrix} {{ D}_1{ f_i}}({\bf a})&{{ D}_2{ f_i}}({\bf a})&\ldots;&{{ D}_n{ f_i}}({\bf a}) \end{bmatrix}.\)
  4. Se \({\bf f}, {\bf g}:U \rightarrow \mathbb{R}^m\) são diferenciáveis em \({\bf a}\), então a soma \({\bf f}+{\bf g}\) também o é e \[\left[{\bf D}({\bf f}+{\bf g})({\bf a})\right]=\left[{\bf D}{\bf f}({\bf a})\right]+\left[{\bf D}{\bf g}({\bf a})\right].\]
  5. Se a função escalar \({f}:U \rightarrow \mathbb{R}\) e a função vetorial \({\bf g}:U \rightarrow \mathbb{R}^m\) são diferenciáveis em \({\bf a}\), então o produto \(f{\bf g}\) também é diferenciável e a derivada é dada por \[ \left[{\bf D}({f}{\bf g})({\bf a})\right]\vec{\bf v}=f({\bf a})\left[{\bf D}{\bf g}({\bf a})\right]\vec{\bf v}+(\left[{\bf D}{f}({\bf a})\right]\vec{\bf v}){\bf g}({\bf a}). \]
  6. Se \({\bf f}, {\bf g}:U \rightarrow \mathbb{R}^m\) são diferenciáveis em \({\bf a}\), então a soma \({\bf f}+{\bf g}\) também o é e \[ \left[{\bf D}({\bf f}+{\bf g})({\bf a})\right]=\left[{\bf D}{\bf f}({\bf a})\right]+\left[{\bf D}{\bf g}({\bf a})\right]. \]
  7. Se a função escalar \({f}:U \rightarrow \mathbb{R}\) e a função vetorial \({\bf g}:U \rightarrow \mathbb{R}^m\) são diferenciáveis em \({\bf a}\), e \(f({\bf a})\neq 0\), então o cociente \({\bf g}/f\) também é diferenciável e a derivada é dada por \[ \left[{\bf D}\left(\frac{{\bf g}}{f}\right)({\bf a})\right]\vec{\bf v}=\frac{\left[{\bf D}{\bf g}({\bf a})\right]\vec{\bf v}}{f({\bf a})}-\frac{(\left[{\bf D}{f}({\bf a})\right]\vec{\bf v}){\bf g}({\bf a})}{f({\bf a})^2} .\]