Variedades regulares

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

As variedades estão por todo o lado, mas nem sempre é fácil defini-las. Podemos sempre ter em mente curvas e superfícies regulares.

Variedades Regulares: Curvas e Superfícies

Um subconjunto de pontos de \(\mathbb{R}^n\) é uma variedade regular de dimensão \(k\) se localmente for o gráfico duma função regular, i.e. continuamente diferenciável, que exprime \(n-k\) variáveis (passivas) em função das restantes \(k\) variáveis ativas (livres).

Assim, retas, arcos de parábolas e circunferências são exemplos de variedades de dimensão \(1\) que podem estar mergulhados em \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\) ou espaços de dimensões superiores. Planos, parabolóides e superfícies esféricas são exemplos de variedades de dimensão \(2\) que podem estar mergulhados em \(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}^4\) ou espaços de dimensões superiores.

As variedades estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II aparecem em três modalidades diferentes, relacionadas entre si pelo Teorema da função implícita: variedades dadas por equações como p.ex. \(x^2+y^2=1\), variedades que são solução para a equação homogénea \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) e variedades que são resultado de parametrizações.



Gráficos de funções escalares (demo)

Apresenta-se com alguns comentários esta demonstração que pode ainda ser consultada em http://demonstrations.wolfram.com/GraphAndContourPlotsOfFunctionsOfTwoVariables/ e ativada com o CDF Player da Wolfram.  A ideia é visualizar simultaneamente o gráfico duma função de duas variáveis junto com as curvas de nível, manipulando parâmetros que entram na expressão que define a função escalar.



Critério da ímplicita para variedades regulares

Neste módulo, com base num exemplo de curvas de nível, estudamos em que condições (para que níveis \(c\)) podemos afirmar que temos uma variedades de dimensão \(1\), i.e. uma curva regular mergulhada em \(\mathbb R^2\). Para tal usamos o critério da função implícita, segundo o qual a derivada da função que se constrói a partir da equação que define as curvas tem de ser sobrejetiva. Analisam-se de seguida os casos em que o critério falha.



Equações que definem Variedades

Neste módulo, analisamos dois exemplos em que usamos o critério da função implícita, segundo o qual a derivada da função \({\bf F}\) que corresponde a escrever um sistema de equações na forma \({\bf F}(\bf x)={\bf 0}\) tem de ser sobrejetiva. No primeiro exemplo, estuda-se um sistema de duas equações que corresponde à interseção dum parabolóide com um plano, e no segundo exemplo, um sistema de duas equações correspondentes à interseção dum plano com superfícies cilíndricas. Em cada um dos casos, faz-se a análise detalhada das situações em que o critério falha.



Superfícies de nível e quadráticas (demo)

Apresenta-se com alguns comentários esta demonstração que pode ainda ser consultada em http://demonstrations.wolfram.com/LevelSurfacesAndQuadraticSurfaces/ e ativada com o CDF Player da Wolfram.  A ideia é visualizar conjuntos de nível de funções escalares de três variáveis, manipulando os parâmetros que entram nas expressões que definem estas funções polinomiais nas três variáveis. O nome de superfícies quadráticas advém dos polinómios serem polinómios de grau dois.



Parametrização de variedades

Neste módulo descrevemos dois exemplos de parametrização variedades de dimensão \(k\): uma curva \(k=1\) mergulhada em \(\mathbb R^2\) e uma superfície \(k=2\) em \(\mathbb R^3\). Descreve-se e verifica-se em detalhe as propriedades da parametrização.