Análise Complexa

João Pedro Boavida / IEEE-IST Student Branch

O plano complexo e as funções holomorfas

A aritmética no plano complexo, relação entre o plano complexo e certas matrizes reais, diferenciabilidade no plano complexo.

  1. O plano complexo
  2. As equações de Cauchy-Riemann I
  3. As equações de Cauchy-Riemann II
  4. As equações de Cauchy-Riemann III

Algumas funções no plano complexo

A exponencial, o logaritmo, e as raízes no plano complexo.

  1. A exponencial complexa e as funções trigonométricas
  2. Coordenadas polares no plano complexo
  3. Potências e raízes de números complexos
  4. Raízes complexas e equações polinomiais
  5. Equações trigonométricas no plano complexo
  6. O logaritmo e as raízes no plano complexo

Séries de potências I

A série geométrica e várias séries que podem ser obtidas a partir dela.

  1. Séries geométricas
  2. Séries de potências para funções racionais I
  3. Séries de potências para funções racionais II
  4. O princípio da identidade
  5. Séries de potências e raio de convergência

Integrais no plano complexo

Integração no plano complexo (integrais de caminho, teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy).

  1. Integrais de caminho no plano complexo
  2. Estimativa de integrais no plano complexo
  3. Primitivas no plano complexo
  4. O teorema de Cauchy
  5. A fórmula de Cauchy (demonstração)
  6. A fórmula de Cauchy (exemplo)
  7. Integrais de caminho e homotopias no plano complexo

Propriedades das funções holomorfas

Várias propriedades das propriedades das funções holomorfas (princípio da média, princípio do módulo máximo, teorema de Liouville, teorema fundamental da álgebra).

  1. O teorema de Liouville
  2. O teorema fundamental da álgebra
  3. Princípios da média e do módulo máximo

Séries de potências II

Propriedades adicionais das séries de potências, obtidas com base no teorema e na fórmula de Cauchy.

  1. Região de convergência de série de potências
  2. Séries de potências e convergência uniforme
  3. Séries de Taylor
  4. Existência de séries de Taylor
  5. Existência de séries de Laurent
  6. Série com singularidade não isolada

O teorema dos resíduos

Cálculo de integrais usando o teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy.

  1. O teorema dos resíduos e a fórmula de Cauchy
  2. O teorema dos resíduos I
  3. O teorema dos resíduos II
  4. Teorema dos resíduos e índice de curvas

Singularidades isoladas

Os três tipos de singularidades isoladas, exemplos.

  1. Singularidades isoladas
  2. Polos e singularidades removíveis
  3. Singularidades essenciais
  4. Classificação de singularidades

Aplicações do teorema dos resíduos

Exemplos de aplicação do teorema dos resíduos.

  1. Integrais impróprios reais
  2. Integrais impróprios (com polos simples na reta real)
  3. Integrais de Fourier (com resíduos)
  4. Contorno em fechadura (com logaritmo)
  5. Contorno em fechadura (com raiz)
  6. Integrais trigonométricos