Teoremas da inversa e da implícita

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Estuda-se em que casos é possível inverter localmente uma função de \(n\) variáveis com valores em \(\mathbb R^n\) e em que casos a equação \(f(x)=0\) define localmente e implicitamente algumas das variáveis como função das restantes. O primeiro teorema é muito importante na resolução de sistemas de equações não-lineares, o segundo teorema vai ser fundamental no estudo de variedades.

Método de Newton (caso vetorial)

Descreve-se neste módulo o algoritmo do Método de Newton e dá-se um exemplo simples de aplicação no caso dum sistema de duas equações quadráticas a duas incógnitas com a respetiva interpretação geométrica.



Método de Newton (exemplo 2D)

Neste módulo aplica-se o Método de Newton num exemplo menos simples de resolução numérica dum sistema de duas equações a duas incógnitas com a respetiva discussão.



Teorema de Kantorovich

Descreve-se neste módulo as condições de convergência enunciadas no Teorema de Kantorovich para a existência e unicidade de solução dum sistema de equações não-linear \(n\times n\).



Verificação da existência de solução (método de Newton 2D)

Descreve-se neste módulo a verificação da existência de solução dum sistema de duas equações a duas incógnitas não-linear, mediante a verificação da condição de convergência do algoritmo do Método de Newton (Teorema de Kantorovich). Calcula-se ainda o tamanho da vizinhança, onde há garantia de encontrar solução para uma dada conjetura inicial.



Condição de Lipschitz para a derivada

Neste módulo apresentamos a condição de Lipschitz para a derivada duma função vetorial e calculamos a “constante” de Lipschitz, usando uma majoração simples para a derivada.

Teorema da função inversa (versão curta)

Neste módulo apresentamos a versão curta do Teorema da função inversa, usando o critério da derivada ser de classe \(C^1\) e ser invertível, para garantir a existência duma inversa local também de classe \(C^1\).



Teorema da função inversa (versão longa)

Neste módulo apresentamos a versão longa do Teorema da função inversa, usando o critério da derivada ser Lipschitz contínua numa vizinhança dum ponto do domínio, além de ser invertível, o que garante a existência duma inversa local também de classe \(C^1\) numa vizinhança bem definida da imagem desse ponto.



Teorema da função inversa (versão longa, exemplo)

Usando o exemplo dado no módulo da versão curta do Teorema da função inversa, determinamos uma estimativa para o tamanho da vizinhança centrada na imagem do ponto onde existe função inversa, e em que se pode garantir a existência duma inversa local também de classe \(C^1\).



Teorema da função implícita (versão curta)

Questão: Dada uma equação vetorial \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) com \(n\) equações a \(n+m\) variáveis, quando é que existe a possibilidade de resolver esta equação em ordem às \(n\) variáveis passivas, escrevendo-as em função das \(m\) variáveis livres? Esta questão pode ser posta doutra maneira: quando é que uma equação homogénea \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) define uma variedade regular?

A resposta está no Teorema da função implícita

Seja \(U\) um conjunto aberto de \(\mathbb{R}^{n+m}\), \({\bf F}:U\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) e \({\bf F}\) uma função continuamente diferenciável e t.q. \({\bf F}({\bf c})={\bf 0}\) num ponto \({\bf c}\) de \(U\), em que a derivada \(\left[{\bf D}{\bf F}({\bf c})\right]\) é sobrejetiva. Então a equação vetorial homogénea \[\left[{\bf D}{\bf F}({\bf c})\right] {\vec{\bf x}}= {\vec{\bf 0}}\] tem \(n\) pivots (variáveis passivas) e \(m\) variáveis livres (variáveis ativas) e existe uma vizinhança de \({\bf c}\) na qual a equação vetorial homogénea define implicitamente as \(n\) variáveis passivas como uma função \({\bf g}\) das \(m\) variáveis livres.

A função \({\bf g}\) deste teorema chama-se a função implícita associada a \({\bf F}\) e o seu gráfico classifica-se como uma variedade regular.



Teorema da função implícita (versão curta)

Neste módulo apresentamos a versão curta do Teorema da função implícita motivados pela questão: sob que condições a equação da elipse \(4x^2+y^2=1\) define o gráfico duma função real duma variável real? Usamos o critério da função implícita para garantir a existência duma vizinhança, em que a equação define localmente uma função de classe \(C^1\) que exprime a variável passiva como função da(s) variável(eis) livre(s).



Teorema da função implícita (versão curta, exemplo)

Neste módulo aplicamos a versão curta do Teorema da função implícita para estudar as vizinhanças dos pontos \((1/2, 0)\) e \((0,1)\), em que a equação da elipse \(4x^2+y^2=1\) define o gráfico de funções reais duma variável real de classe \(C^1\).



Teorema da função implícita (versão longa)

Neste módulo apresentamos a versão longa do Teorema da função implícita, usando o critério da derivada ser Lipschitz contínua numa vizinhança dum ponto do domínio que resolve \(F({\bf c})={\bf 0}\), sendo ainda sobrejetiva nesse ponto. De seguida, postula-se o tamanho da vizinhança, em que a equação \(F({\bf x})={\bf 0}\) define localmente uma função (implícita) de classe \(C^1\) que exprime a variável passiva como função da(s) variável(eis) livre(s).

Teorema da função implícita (exemplo)

Neste módulo aplicamos a versão longa do Teorema da função implícita para analisar o tamanho da vizinhança do ponto \((-1,0)\), em que a equação da elipse \(x^2+4 y^2=1\) define o gráfico duma função real duma variável real de classe \(C^1\).