Variedades Regulares: Curvas e Superfícies

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch / março 2012

Um subconjunto de pontos de \(\mathbb{R}^n\) é uma variedade regular de dimensão \(k\) se localmente for o gráfico duma função regular, i.e. continuamente diferenciável, que exprime \(n-k\) variáveis (passivas) em função das restantes \(k\) variáveis ativas (livres).

Assim, retas, arcos de parábolas e circunferências são exemplos de variedades de dimensão \(1\) que podem estar mergulhados em \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\) ou espaços de dimensões superiores. Planos, parabolóides e superfícies esféricas são exemplos de variedades de dimensão \(2\) que podem estar mergulhados em \(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}^4\) ou espaços de dimensões superiores.

As variedades estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II aparecem em três modalidades diferentes, relacionadas entre si pelo Teorema da função implícita: variedades dadas por equações como p.ex. \(x^2+y^2=1\), variedades que são solução para a equação homogénea \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) e variedades que são resultado de parametrizações.