Limites e continuidade em \(\mathbb R^n\)

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

O conceito de limite e de continuidade de funções de várias variáveis com valores em \(\mathbb R^m\) difere bastante do caso unidimensional. Deixamos de ter de olhar só para a direita e para a esquerda e temos de passar a olhar à volta (para os abertos, para as vizinhanças).

Sucessões convergentes em \(\mathbb R^n\)

Exemplos do estudo de limites de sucessões, em particular, em \(\mathbb R^2\).



Limites de sucessões em \(\mathbb R^n\)

Com exemplos de limites de sucessões em \(\mathbb R^2\), fazemos uma ilustração das principais propriedades dos limites de sucessões: unicidade do limite, limite da soma e do produto duma sucessão convergente de números por uma sucessão convergente de pontos.



Limites de funções com valores em \(\mathbb R^m\)

Para funções de \(n\) variáveis com valores em \(\mathbb R^m\), os limites definem-se e calculam-se função coordenada a função coordenada. Dá-se um exemplo do cálculo dum limite, em que não é necessário usar a definição \(\epsilon-\delta\), basta usar a aritmética dos limites: limite da soma é a soma dos limites, limite do produto é o produto dos limites e o limite da função composta \(g\circ f\) é o limite de \(g\) quando se faz o argumento tender para o limite de \(f\).



Limites de Funções Escalares (Exemplo 1)

Para funções racionais de \(n\) variáveis com valores em \(\mathbb R\), o estudo do limite nos pontos onde o denominador se anula tem de ser feito com cuidado. Neste exemplo de função racional de duas variáveis, o limite não existe e isto fica provado quando se encontram limites direcionais diferentes.



Limites de Funções Escalares (Exemplo 2)

Para funções racionais de \(n\) variáveis com valores em \(\mathbb R\), o estudo do limite nos pontos onde o denominador se anula tem de ser feito com cuidado. Neste exemplo de função racional de duas variáveis, o limite existe e, depois de se ter encontrado um candidato a limite, tem de ser provado pela definição \(\epsilon-\delta\).



Limite da função composta

O limite da função composta analisado em detalhe, com um exemplo standard.



Funções contínuas em \(\mathbb R^n\)

Aqui, para funções definidas em subconjuntos de \(\mathbb R^n\) introduzimos a noção de continuidade num ponto do domínio. A definição de continuidade está intimamente relacionada com a noção de existência de limite para a função nesse ponto. Acrescentamos as propriedades da soma, produto e cociente de funções contínuas, que conduzem à continuidade de polinómios e de funções racionais, cujo denominador não se anula no subconjunto de \(\mathbb R^n\).

Exemplo do estudo da continuidade duma função definida em \(\mathbb R^2\) e dada por ramos.



Campos Vetoriais

Neste módulo definimos campos vetoriais, chamamos a atenção para a diferença destes relativamente às funções escalares e com valores em \(\mathbb R^m\) e, de seguida, damos exemplos de campos vetoriais em \(\mathbb R^2\). Este módulo pode e deve ser visto junto com a experimentação no Wolfram|Alpha da representação gráfica (plot) dum campo vetorial (vector field).



Campos Vetoriais (Demonstração no Computador)

Neste módulo visualizamos campos vetoriais com a ajuda do Wolfram|Alpha (http://www.wolframalpha.com/). Usando o vector plot, podemos ter acesso a representações gráficas 2D de campos vetoriais mais complicados do que os que conseguimos desenhar à mão.