Teorema da função implícita (versão curta)

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch / março 2012

Questão: Dada uma equação vetorial \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) com \(n\) equações a \(n+m\) variáveis, quando é que existe a possibilidade de resolver esta equação em ordem às \(n\) variáveis passivas, escrevendo-as em função das \(m\) variáveis livres? Esta questão pode ser posta doutra maneira: quando é que uma equação homogénea \({\bf F}({\bf x})={\bf 0}\) define uma variedade regular?

A resposta está no Teorema da função implícita

Seja \(U\) um conjunto aberto de \(\mathbb{R}^{n+m}\), \({\bf F}:U\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) e \({\bf F}\) uma função continuamente diferenciável e t.q. \({\bf F}({\bf c})={\bf 0}\) num ponto \({\bf c}\) de \(U\), em que a derivada \(\left[{\bf D}{\bf F}({\bf c})\right]\) é sobrejetiva. Então a equação vetorial homogénea \[\left[{\bf D}{\bf F}({\bf c})\right] {\vec{\bf x}}= {\vec{\bf 0}}\] tem \(n\) pivots (variáveis passivas) e \(m\) variáveis livres (variáveis ativas) e existe uma vizinhança de \({\bf c}\) na qual a equação vetorial homogénea define implicitamente as \(n\) variáveis passivas como uma função \({\bf g}\) das \(m\) variáveis livres.

A função \({\bf g}\) deste teorema chama-se a função implícita associada a \({\bf F}\) e o seu gráfico classifica-se como uma variedade regular.