Geometria e abertos de \(\mathbb R^n\)

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Para trabalharmos com as noções fundamentais de continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis com valores em \(\mathbb R^m\) precisamos das definições básicas de distância e de abertos de \(\mathbb R^n\): precisamos de saber distinguir o que é grande ou está longe do que é pequeno ou está perto.

Geometria do \(\mathbb R^n\) (produto interno e comprimento)

A definição de produto interno permite definir comprimento de um vetor e ângulo entre dois vetores de \(\mathbb R^n\). Neste módulo tratamos de definir e usar comprimento, ou norma euclideana dum vetor. A necessidade de saber o comprimento dum vetor, no que diz respeito ao cálculo, é poder concluir que um vetor é pequeno, ou que dois pontos estão próximos um do outro.

Seguem-se dois módulos, onde se trata mais detalhadamente de ângulo entre vetores e comprimento uma matriz.



Geometria do \(\mathbb R^n\) (ângulo e desigualdades)

A definição de produto interno permite definir ângulo entre dois vetores \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\) de \(\mathbb R^n\). Desta definição podemos concluir que o produto interno não depende do sistema de coordenadas usado: podemos rodar um par de vetores sem que o seu comprimento e o ângulo entre eles se altere. O produto interno permite ainda definir o conceito de projeção numa direção. A desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade triangular estão na base de muitas das demonstrações de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.



Comprimento duma Matriz

Neste módulo definimos comprimento duma matriz como uma extensão da definição de comprimento dum vetor. As designações norma e comprimento usam-se como sinónimos. Em relação a matrizes, esta norma é conhecida como a norma de Frobenius, ou norma de Schur, ou de Hilbert-Schmidt.



Geometria do \(\mathbb R^3\) (produto externo)

Neste módulo definimos produto externo ou vetorial (o resultado do produto externo é um vetor) entre dois \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\) vetores de \(\mathbb R^3\). As propriedades geométricas que gostaríamos de sublinhar são: o vetor produto externo \(\vec {u} \times \vec {v}\) é ortogonal a cada um dos vetores \(\vec {u}\) e \(\vec {v}\), o comprimento do vetor produto externo é igual à área do paralelogramo gerado pelos dois vetores (observe, que é uma área no espaço \(\mathbb R^3\) e não no plano), o produto externo vem dotado dum sinal de acordo com a regra da mão direita. Como alternativa ao cálculo do volume dum paralelipipedo, usando o determinante, pode usar-se o módulo do produto triplo \(\vec {u}\cdot \vec {v} \times \vec {w}\).



Abertos e fechados de \(\mathbb R^n\)

Como usar bolas abertas (intervalos abertos de \(\mathbb R\), discos em \(\mathbb R^2\), etc.) para caracterizar abertos e fechados de \(\mathbb R^n\). Exemplos a uma e duas dimensões.



Interior, fronteira e fecho

Definição de conjunto interior, conjunto fronteira e fecho de subconjuntos de \(\mathbb R^n\).