Equações Diferenciais

João Pedro Boavida / IEEE-IST Student Branch

Equações diferenciais de primeira ordem

Várias técnicas para a resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

  1. Equações diferenciais (alguns exemplos)
  2. Equações separáveis
  3. Equações exatas
  4. Equações redutíveis a exatas I
  5. Equações redutíveis a exatas II
  6. Equações diferenciais lineares
  7. Equações diferenciais (mudança de variável)

Existência de soluções de equações diferenciais

Existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias, prolongamento de soluções, comparação de soluções.

  1. Equações diferenciais vs equações integrais
  2. Operadores contrativos
  3. O teorema de Picard-Lindelöf
  4. Prolongamento de soluções
  5. Prolongamento de soluções (exemplos)
  6. Comparação de soluções

Espaços próprios generalizados

Existência de formas de Jordan e procedimento para as encontrar.

  1. Triangulização de matrizes
  2. Vetores próprios generalizados
  3. Formas de Jordan (exemplo 4×4)
  4. Formas de Jordan (exemplo 2×2)
  5. Formas de Jordan (exemplos 3×3)

EDOs em \(\mathbb R^n\)

Exponencial de matrizes e técnicas para EDOs lineares em \(\mathbb R^n\).

  1. Exponencial de matriz (propriedades)
  2. Exponencial de matriz diagonalizável
  3. Exponencial de bloco de Jordan
  4. Exponencial de matriz (caso geral)
  5. A fórmula da variação das constantes I
  6. A fórmula da variação das constantes II

Equações de ordem superior

Comparação entre EDOs de ordem superior e EDOs lineares em \(\mathbb R^n\), método dos aniquiladores, matriz wronskiana.

  1. Equações diferenciais de ordem superior
  2. O método dos aniquiladores I
  3. O método dos aniquiladores II
  4. O método dos aniquiladores III
  5. Equações de ordem superior (usando wronskiana)

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace e aplicação à resolução de EDOs de ordem superior; inversão usando o teorema dos resíduos.

  1. A transformada de Laplace I
  2. A transformada de Laplace II
  3. A transformada de Laplace inversa
  4. A transformada de Laplace III

Séries de Fourier

Séries de Fourier, séries de senos e cossenos, prolongamentos de funções periódicas.

  1. Produto interno para funções periódicas
  2. Séries de Fourier (ideias)
  3. Séries de Fourier (exemplo)
  4. Séries de Fourier (funções pares e ímpares)
  5. Séries de Fourier e prolongamentos

Equações diferenciais parciais

Algumas técnicas para resolução de equações diferenciais parciais de formatos específicos.

  1. Resolução de EDP com séries de Fourier
  2. Resolução de EDP com separação de variáveis
  3. EDP com coeficientes não constantes
  4. EDP não homogénea
  5. Resolução de EDP (equação de ondas)
  6. Resolução de EDP (equação de Laplace)