Cálculo Integral

Ana Moura Santos / IEEE-IST Student Branch

Integração em \(\mathbb R^n\)

Os integrais vêm sob duas formas: somas e primitivas. As somas a uma dimensão permitem definir com precisão uma área, e a várias dimensões generalizam-se para volumes. O teorema de Fubini faz uso das primitivas e é o instrumento fundamental para calcular, quando tal é possível, integrais de funções de várias variáveis.

  1. Integral de Riemann (parte 1)
  2. Integral de Riemann (parte 2)
  3. Integral de Riemann (exemplo)

Integrais em \(\mathbb R^n\)

Os integrais vêm sob duas formas: somas e primitivas. As somas a uma dimensão permitem definir com precisão uma área, e a várias dimensões generalizam-se para volumes. O teorema de Fubini faz uso das primitivas e é o instrumento fundamental para calcular, quando tal é possível, integrais de funções de várias variáveis.

  1. Troca de ordem na integração
  2. Teorema de Fubini e integrais iterados (Exemplo 1)
  3. Teorema de Fubini e integrais iterados (Exemplo 2)
  4. Troca de ordem na integração (polares)
  5. Integral duplo sobre triângulo (centro de massa)
  6. Centro de gravidade da lemniscata

Mudanças de coordenadas

  1. Coordenadas polares
  2. Coordenadas cilíndricas
  3. Coordenadas esféricas
  4. Coordenadas cilíndricas (Exemplo)
  5. Coordenadas esféricas (Exemplo)
  6. Mudança de variáveis (polares para cartesianas)

Volumes de variedades

Os integrais sobre subconjuntos “não-planos” de \(\mathbb R^n\) permitem p.ex. calcular comprimentos de arcos e áreas de superfícies. A parametrização de curvas e superfícies tem aqui um papel fundamental.

  1. Volumes de paralelogramos
  2. Parametrizações e integração
  3. Parametrizações mais usuais
  4. Parametrizações mais usuais (continuação)
  5. Volumes de variedades (comprimento dum arco)
  6. Volumes de variedades (cone)
  7. Volumes de variedades (esfera)
  8. Volumes de variedades (toro)

Operadores diferenciais

  1. Integral do trabalho ao longo duma linha
  2. Operadores diferenciais (gradiente, rotacional e divergência)
  3. Derivada exterior e operadores diferenciais

Teoremas do cálculo integral em \(\mathbb R^n\)

  1. Teorema de Stokes generalizado
  2. Teorema de Stokes para superfícies em \(\mathbb R^3\) (parte 1)
  3. Teorema de Stokes para superfícies em \(\mathbb R^3\) (parte 2)